- David Hilbert strebte eine strengere mathematische Denkweise in der Physik an und präsentierte 1900 23 bedeutende mathematische Probleme. Das sechste Problem Hilberts betraf die axiomatische Behandlung physikalischer Wissenschaften, vergleichbar mit der Geometrie, um die Verbindung von Mikro- und Makro-Niveau der Physik zu beweisen. Drei Mathematiker erzielten bedeutende Fortschritte, indem sie den Zusammenhang zwischen verschiedenen Modellebenen des Gases mathematisch nachvollziehen konnten. Oscar Lanford gelang 1975 ein Teilerfolg, aber die neuen Techniken von Deng, Hani und Ma ermöglichten eine Analyse über längere Zeiträume. Diese Arbeit leistet einen wesentlichen Beitrag zu den Grundlagen der Physik und Mathematik und zeigt den fruchtbaren Dialog zwischen beiden Disziplinen.
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts strebte der berühmte Mathematiker David Hilbert danach, eine strengere mathematische Denkweise in die Physik einzuführen. Zu dieser Zeit waren Physiker mit grundlegenden Fragen beschäftigt: Was genau ist Wärme? Wie sind Moleküle strukturiert? Hilbert hoffte, dass die formale Logik der Mathematik Klarheit bringen könnte. Am Morgen des 8. August 1900 präsentierte er auf dem Internationalen Mathematikerkongress eine Liste mit 23 bedeutenden mathematischen Problemen, darunter das sechste: Die Gesetze der Physik unwiderlegbar zu beweisen.
Hilberts Herausforderung an die Physik
Das sechste Problem Hilberts war in seiner Breite beeindruckend. Er forderte, “nach Art der Geometrie anhand von Axiomen jene physikalischen Wissenschaften zu behandeln, in denen Mathematik eine wichtige Rolle spielt.” Dieses Unterfangen war, wie ein Mathematiker der Universität Maryland bemerkte, eher ein Programm als ein lösbares Problem. Aber Hilbert schuf einen Ausgangspunkt. Um verschiedene Eigenschaften eines Gases zu studieren, verwenden Physiker verschiedene Gleichungen: Eine beschreibt die Bewegung der Einzelmoleküle, eine andere das Verhalten des Gases als Ganzes. Hilberts Frage lautete im Grunde, ob diese beiden Ansätze durch die gleichen physikalischen Prinzipien verbunden sind. Über 125 Jahre lang schien selbst die Axiomatisierung dieses kleinen Bereichs der Physik unmöglich. Mathematische Fortschritte waren fragmentarisch und oft nur unter sehr spezifischen Bedingungen gültig.
Ein mathematischer Durchbruch
Nun gelang es drei Mathematikern, einen bedeutenden Fortschritt zu erzielen. Ihre Arbeit geht über Hilberts Programm hinaus und greift Fragen zur irreversiblen Natur der Zeit auf. Ein Gas besteht aus weit verteilten Partikeln und kann auf verschiedene Weise modelliert werden. Auf mikroskopischer Ebene sind sie wie Billardkugeln, die gemäß Newtons alten Bewegungsgesetzen agieren. Auf mesoskopischer Ebene verwenden Physiker die von Maxwell und Boltzmann entwickelten Gleichungen, um wahrscheinliches Verhalten zu beschreiben. Auf makroskopischer Ebene verhalten sich Gase wie kontinuierliche Substanzen, beschrieben durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Physiker sehen diese Modelle als kompatibel, aber für Hilberts sechstes Problem mussten Mathematiker den logischen Zusammenhang beweisen.
Nun haben , , und ein Ergebnis vorgelegt, das als “paradigmatisch” beschrieben wird, indem sie den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Modellebenen des Gases mathematisch nachvollziehen. Boltzmann hatte den Zusammenhang zwischen Newtons Bewegungsgesetzen und seiner mesoskopischen Gleichung bereits vermutet, konnte ihn jedoch aufgrund der unendlichen Möglichkeiten der Partikelkollisionen nie beweisen.
Dynamik der Partikelkollisionen
1975 gelang Oscar Lanford ein Teilerfolg, jedoch nur für extrem kurze Zeiträume. Danach scheiterte der Beweis. Diesen Herausforderungen zum Trotz, entwickelten Deng, Hani und Ma innovative Techniken, um die Probleme der bisherigen Beweisversuche zu überwinden. Sie analysierten das Verhalten von Gasteilchen über längere Zeiträume und zeigten, dass eine mikroskopische Beschreibung tatsächlich zu einer makroskopischen Ausdeutung führt. Diese Leistung fügt sich in Hilberts fünftes Problem ein und klärt das Rätsel, wie irreversible Gesetze aus reversiblen Bewegungsgesetzen abgeleitet werden können.
Mit dieser Verkettung der Logik haben die Forscher einen wesentlichen Beitrag zu den Grundlagen der Physik und Mathematik geleistet. Zukünftige Forschungen könnten darauf aufbauen, um komplexere Systeme zu verstehen. Ihre Errungenschaft zeigt auf, wie Mathematik und Physik in einem fruchtbaren Dialog stehen, der unser Verständnis der Natur vertieft.
