- Andrew Wiles löste 1994 Fermats Letzten Satz, ein Problem, das über 300 Jahre ungelöst blieb. Wiles’ Beweis erforderte ein Zwischenergebnis, das eine Verbindung zwischen elliptischen Kurven und modularen Formen herstellt. Diese Verbindung, bekannt als Modularität, ist zentral für das Langlands-Programm und ermöglicht neue mathematische Durchbrüche. Eine Gruppe von Mathematikern hat gezeigt, dass abelsche Flächen auch mit modularen Formen verbunden sind. Elliptische Kurven und abelsche Flächen spielen eine bedeutende Rolle in der Zahlentheorie und der modernen Mathematik.
1994 brachte ein Beweis die mathematische Welt zum Beben. Der Mathematiker Andrew Wiles hatte ein seit über drei Jahrhunderten ungelöstes zentrales Problem der Zahlentheorie gelöst. Doch um dies zu erreichen, musste Wiles, unterstützt von Richard Taylor, zuerst ein subtileres Zwischenergebnis beweisen, das über Fermats Rätsel hinausging. Dieses Zwischenergebnis befasste sich mit elliptischen Kurven und modularen Formen. Wiles und Taylor öffneten im Grunde ein Portal zwischen unterschiedlichen mathematischen Bereichen und deckten auf, dass diese wie verzerrte Spiegelbilder zueinander wirken. Wer etwas über elliptische Kurven verstehen möchte, kann in die Welt der modularen Formen eintauchen, das Spiegelbild studieren und die gewonnenen Erkenntnisse zurücktransferieren.
Modularität – Eine Revolution in der Mathematik
Diese Verbindung zwischen den Welten, bekannt als “Modularität”, ermöglichte nicht nur die Lösung des Fermatschen Letzten Satzes. Mathematische Fortschritte wurden auch bei vormals unlösbaren Problemen erzielt. Die Modularität bildet zudem das Fundament des Langlands-Programms, eines umfassenden Satzes von Vermutungen, die auf eine “große einheitliche Theorie” der Mathematik abzielen. Die Richtigkeit dieser Vermutungen würde bedeuten, dass eine Vielzahl von Gleichungen über elliptische Kurven hinaus an Objekte in ihrer Spiegelwelt gebunden wären. Forscher könnten nach Belieben zwischen den Welten springen, um noch mehr Fragen zu beantworten.
Der Beweis der Entsprechung zwischen elliptischen Kurven und modularen Formen war jedoch äußerst anspruchsvoll. Viele Forscher hielten die Etablierung solcher komplexeren Entsprechungen für unmöglich. Doch ein Team aus vier Mathematikern hat das Gegenteil bewiesen. Im Februar gelang es ihnen, von elliptischen Kurven zu komplexeren Gleichungen, sogenannten abelschen Flächen, überzugehen. Die Gruppe, bestehend aus Wissenschaftlern der University of Chicago, des Imperial College London und des französischen CNRS, zeigte, dass jede abelsche Fläche einer bestimmten Kategorie immer mit einer modularen Form in Verbindung steht.
Der Weg durch den Spiegel
Eine elliptische Kurve ist ein fundamentaler Gleichungstyp, der nur zwei Variablen verwendet: x und y. Wenn Sie seine Lösungen grafisch darstellen, erscheinen einfache Kurven. Doch diese Lösungen sind auf reiche und komplexe Weise miteinander verwoben und tauchen in vielen bedeutenden Fragen der Zahlentheorie auf. Die Birch und Swinnerton-Dyer-Vermutung ist ein Beispiel, eine der schwierigsten offenen Fragen in der Mathematik mit einem Millionenpreis für ihren Beweis.
Elliptische Kurven können schwer direkt untersuchbar sein, weshalb Mathematiker oft lieber einen anderen Ansatz wählen. Hier kommen die modularen Formen ins Spiel, hochsymmetrische Funktionen, die zunächst in einem separaten Bereich der Mathematik namens Analysis erscheinen. Dank ihrer Symmetrien sind sie oft leichter zu handhaben. Taylor und Wiles’ Beweis zeigte, dass jede elliptische Kurve einer spezifischen modularen Form entspricht. Sie teilen bestimmte Eigenschaften; Zahlen, die die Lösungen einer elliptischen Kurve beschreiben, erscheinen auch in ihrer zugehörigen modularen Form. Dadurch können Mathematiker mit modularen Formen neue Einblicke in elliptische Kurven gewinnen.
Ein Durchbruch und seine Auswirkungen
Mathematiker vermuten, dass Taylor und Wiles’ Modularitätssatz nur eine von vielen Entsprechungen in einem universellen Zusammenhang darstellt. Es gibt eine weit allgemeinere Klasse von Objekten über elliptischen Kurven hinaus, und all diese Objekte sollten auch einen Partner in der Welt der symmetrischen Funktionen wie modularen Formen haben. Darum geht es im Wesentlichen im Langlands-Programm.
Eine elliptische Kurve hat nur zwei Variablen – x und y – sodass sie auf einem flachen Blatt Papier dargestellt werden kann. Fügt man jedoch eine weitere Variable z hinzu, entsteht eine kurvige Fläche, die in einem dreidimensionalen Raum lebt. Dieses komplexere Objekt ist als abelsche Fläche bekannt, und genau wie bei elliptischen Kurven wollen Mathematiker seine reichhaltige Struktur verstehen.
Die Verbindung von abelschen Flächen mit komplexeren modularen Formen zu beweisen, schien lange Zeit völlig unerreichbar. Boxer, Calegari, Gee und Pilloni strebten dennoch danach und drangen in eine neue Phase der mathematischen Erforschung vor, wobei ihr Ansatz neue Pfade für die Mathematik öffnete. Die Reise ist lang, aber voller Verheißungen.
