**Sensationeller Durchbruch: Mathe-Genies knacken 80 Jahre alten Rekord!**

• Mathematiker wählen oft unterschiedliche Herangehensweisen, um Probleme zu lösen, wobei einige Probleme, wie die Riemann-Hypothese, besonders wichtig und schwer zu beweisen sind.
• Maynard und ein MIT-Kollege haben eine neue Obergrenze für bestimmte Ausnahmen festgelegt, was zu besseren Primzahlschätzungen führt und einen über 80 Jahre alten Rekord überboten hat.
• Die Riemann-Hypothese besagt, dass bestimmte Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion auf einer bestimmten vertikalen Linie liegen, was tiefgreifende Konsequenzen für die Zahlentheorie hätte.
• Maynard und Guth nutzten die harmonische Analyse und erstellten eine Matrix, um die Obergrenze für Nullstellen mit einem realen Anteil von 3/4 zu verbessern und somit tiefere Einsichten in die Verteilung von Primzahlen zu gewinnen.
• Die neuen Techniken von Guth und Maynard eröffnen potenzielle Verbesserungen in verschiedenen Aussagen über Primzahlen, doch für den endgültigen Beweis der Riemann-Hypothese bedarf es einer großen, neuen Idee.

Manchmal versuchen Mathematiker ein Problem direkt anzugehen, und manchmal wählen sie eine seitliche Herangehensweise. Dies gilt besonders, wenn die mathematischen Einsätze hoch sind, wie bei der Riemann-Hypothese, deren Lösung mit einer Belohnung von 1 Million Dollar vom Clay Mathematics Institute einhergeht. Der Beweis würde Mathematikern tieferes Verständnis über die Verteilung von Primzahlen verschaffen und zahlreiche weitere Konsequenzen haben—er ist wohl die wichtigste offene Frage in der Mathematik.

Mathematiker haben keine Ahnung, wie sie die Riemann-Hypothese beweisen können. Aber sie können dennoch nützliche Resultate erzielen, indem sie zeigen, dass die Zahl der möglichen Ausnahmen begrenzt ist. „In vielen Fällen kann das genauso gut sein wie die Riemann-Hypothese selbst“, sagte ein Forscher von der Universität Oxford. „Wir können ähnliche Ergebnisse über Primzahlen daraus ziehen.“

Einige Sensationelle Entdeckungen

In einem im Mai veröffentlichten Papier haben Maynard und ein Kollege des Massachusetts Institute of Technology eine neue Obergrenze für die Zahl der Ausnahmen einer bestimmten Art festgelegt, womit sie einen über 80 Jahre alten Rekord überboten. „Es ist ein sensationelles Ergebnis“, sagte ein Forscher von der Rutgers-Universität. „Es ist sehr, sehr, sehr schwer. Aber es ist ein Juwel.“ Der neue Beweis führt automatisch zu besseren Näherungen für die Anzahl der Primzahlen in kurzen Abschnitten auf der Zahlenlinie und bietet viele andere Einblicke in das Verhalten von Primzahlen.

Die Riemann-Hypothese ist eine Aussage über eine zentrale Formel in der Zahlentheorie, die Riemannsche Zeta-Funktion. Die Zeta (ζ) Funktion ist eine Verallgemeinerung einer einfachen Summe: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …. Diese Serie wird beliebig groß werden, wenn immer mehr Terme hinzugefügt werden—Mathematiker sagen, dass sie divergiert. Riemanns erstaunlich kraftvolle Idee war es, eine solche Serie in eine Funktion zu transformieren: ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + …. Dinge werden wirklich interessant, wenn man s als komplexe Zahl versteht, die aus einem „realen“ und einem „imaginären“ Teil besteht. Komplexe Zahlen können auf einer Ebene dargestellt werden, mit dem realen Teil auf der x-Achse und dem imaginären Teil auf der y-Achse.

Die Magie der Rechenwege

Die Zeta-Funktion nimmt Punkte auf der komplexen Ebene als Eingaben und produziert andere komplexe Zahlen als Ausgaben. Es stellt sich heraus, dass die Zeta-Funktion für einige komplexe Zahlen gleich Null ist. 1859 vermutete Bernhard Riemann, dass alle diese Nullstellen auf zwei Linien konzentriert sind. Er schlug vor, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Funktion, d. h. solche mit realem Anteil von 1/2, auf dieser vertikalen Linie liegen müssten. Das ist die Riemann-Hypothese, und sie zu beweisen, ist außerordentlich schwierig.

Mathese, die feststellen können, dass jede nicht-triviale Nullstelle einen realen Anteil zwischen null und eins haben müssen, können jedoch solche Nullstellen nicht völlig ausschließen. Was sie tun können, ist zu zeigen, dass solche Nullstellen sehr selten sein müssen. Im Jahr 1940 stellte der englische Mathematiker Albert Ingham eine Obergrenze für die Zahl der Nullstellen fest, deren realer Anteil nicht 1/2 ist, die Mathematiker bis heute als Bezugspunkt nutzen.

Einige Jahrzehnte später, in den 1960er und 1970er Jahren, entwickelten andere Mathematiker Methoden, um Inghams Ergebnis in Aussagen darüber umzuwandeln, wie dicht oder gestreut Primzahlen entlang der Zahlenlinie sind und welche Muster sie möglicherweise bilden könnten. In dieser Zeit wurden auch neue Techniken eingeführt, die Inghams Grenzen für Nullstellen mit realem Anteil größer als 3/4 verbesserten.

Eine Mathematische Neuausrichtung

Vor etwa einem Jahrzehnt begann Maynard, über Wege nachzudenken, Inghams Schätzung für diese speziellen Nullstellen zu verbessern. „Es war schon immer eines meiner Lieblingsprobleme in der analytischen Zahlentheorie“, sagte er. Aber Jahr für Jahr, egal wie oft er darauf zurückkam, blieb er stecken. Dann, Anfang 2020, während eines Fluges zu einer Konferenz in Colorado, kam Maynard eine Idee. Vielleicht könnte das Werkzeug der harmonischen Analyse von Nutzen sein.

Larry Guth, ein Experte für harmonische Analyse, der ebenfalls auf der Konferenz war, dachte bereits ähnlich. Maynard erklärte ihm die Seite der Zahlentheorie beim Mittagessen und gab ihm einen Testfall, mit dem er arbeiten konnte. Guth studierte es über mehrere Jahre hinweg, nur um festzustellen, dass seine Techniken aus der harmonischen Analyse nicht funktionieren würden. Aber er hörte nicht auf, über das Problem nachzudenken, und experimentierte mit neuen Ansätzen. Sie begannen schließlich im Februar, ernsthaft zusammenzuarbeiten, kombinierten ihre unterschiedlichen Perspektiven und hatten wenige Monate später ihr Ergebnis.

Guth und Maynard begannen damit, das Problem, das sie lösen wollten, in ein anderes umzuwandeln. Wenn man eine Nullstelle hat, deren realer Anteil nicht 1/2 ist, muss eine verwandte Funktion, das sogenannte Dirichlet-Polynom, einen sehr großen Ausgang haben. Infolgedessen ist es gleichbedeutend damit zu zeigen, dass das Dirichlet-Polynom nicht zu oft groß werden kann.

Statler und Wasser

Die Mathematiker führten dann eine weitere Übersetzung durch. Sie verwendeten das Dirichlet-Polynom, um eine Matrix zu erstellen, ein Tableau von Zahlen. „Mathematiker lieben es, Matrizen zu sehen, weil wir diese wirklich gut verstehen“, so Guth. Matrizen können auf einen mathematischen Pfeil, genannt Vektor, wirken, um einen anderen Vektor zu erzeugen. Manchmal gibt es spezielle Vektoren, die, wenn sie durch eine Matrix geleitet werden, nur in der Länge, aber nicht in der Richtung ändern. Diese nennt man Eigenvektoren, und ihre Größe wird durch Eigenwerte gemessen.

Guth und Maynard schrieben ihr Problem so um, dass es nun um den größten Eigenwert ihrer Matrix ging. Wenn sie zeigen könnten, dass der größte Eigenwert nicht zu groß werden kann, wären sie fertig. Dafür nutzten sie eine Formel, die ihnen eine komplizierte Summe gab und versuchten positive und negative Werte dieser Summe so gut wie möglich auszugleichen. „Man muss die Sequenz umarrangieren oder aus dem richtigen Winkel betrachten, um eine Symmetrie zu sehen, die eine Stornierung hervorruft“, sagte Guth.

Dieser Prozess beinhaltete mehrere überraschende Schritte, einschließlich „der für mich wichtigsten Idee, die immer noch ein wenig magisch erscheint“, so Maynard. An einem Punkt gab es einen scheinbar offensichtlichen Schritt, um ihre Summe zu vereinfachen. Stattdessen ließen sie sie in ihrer längeren und komplizierteren Form. „Wir verweigern einfach die Standardvereinfachung, und das gibt uns viel auf“, sagte Maynard. Aber langfristig erwies sich dies als vorteilhaft.

Durch eine verbesserte Begrenzung der Anzahl der Nullstellen mit einem realen Anteil von 3/4 haben Guth und Maynard automatisch Ergebnisse darüber bewiesen, wie Primzahlen verteilt sind. Beispielsweise werden Schätzungen, wie viele Primzahlen in einem bestimmten Intervall gefunden werden, für kürzere Intervalle weniger genau. Die neue Arbeit hat es Mathematikern ermöglicht, die Intervalle zu verkürzen, in denen sie gute Schätzungen anstellen können.

Unbeirrbarer Fortschritt

Mathematiker vermuten, dass der Beweis auch Verbesserungen für andere Aussagen über Primzahlen bringen wird. Es scheint Raum zu geben, Guths und Maynards Techniken weiter voranzutreiben. Dennoch glaubt Maynard, dass es eine grundlegende Idee von anderswo brauchen wird: „Es wird eine große Idee brauchen, um die Riemann-Hypothese selbst zu lösen.“